[add]:添加四元数

docs/chapt7/7.2.3姿态的多种表示.md

@@ -206,7 +206,7 @@ $$
 根据旋转顺序不同，固定角有12种旋转方式，这里我们给出了绕固定轴以XYZ顺序旋转欧拉角转旋转矩阵的等式，其他旋转顺序对应的旋转矩阵可以尝试自行推导.
 
 ### 2.2 非固定旋转轴的欧拉角
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 非固定旋转轴，即每次旋转是绕着自身的坐标轴进行旋转，其旋转动图如2.2.2节所示。
 
 非固定旋转的欧拉角转旋转矩阵推导也很简单，我们以旋转顺序ZYX为例子分析
@@ -272,7 +272,54 @@ $\theta$的符号由右手定则确定，右手大拇指指向矢量K的方向.
 
 ## 四元数
 
-除了轴角这种方式
+除了轴角可以使用一个表示角度和三个表示旋转轴，一共四个数字表示旋转外。还有另外一种方式可以表示旋转——四元数。
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+四元数的四个数字由一个实部和三个虚部组成，是一个超复数形式
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+q = w + x*i+ y*j + z*k
+$$
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+关于四元数的由来有个小故事，小鱼分享一下：
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+> 1843年10月16日的傍晚，英国数学家哈密顿和他的妻子一起步行去都柏林，途中经过布鲁哈姆桥时，他的脚步突然放慢了。妻子以为他要尽情欣赏周围的景色，于是也放慢了脚步。其实哈密顿此时正在思考他久久不能解决的问题。早在1828年，他就想发明一种新的代数，用来描述绕空间一定轴转动并同时进行伸缩的向量的运动。他设想这种新代数应包含四个分量：两个来固定转动轴，一个来规定转动角度，第四个来规定向量的伸缩。但是在构造新代数的过程中，由于他受传统观念的影响，不肯放弃乘法交换律，故屡受挫折。哈密顿盲目地相信，普通代数最重要的规律必定继续存在于他寻找的代数中。然而此刻，他的脑际突然产生了一个闪念：在所寻找的代数中，能否让交换律不成立呢？比方说，A×B不等于B×A而是等于负的B×A。这个想法太大胆了，他感到非常激动。哈密顿马上掏出笔记本，把他的思想火花记录下来。这一火花就是I，J，K之间的基本方程，即四元数乘法基本公式。哈密顿因此把1843年10月16日称为四元数的生日。此后，哈密顿一生的最后22年几乎完全致力于四元数的研究，成果发表在他去世后出版的《四元数基础》一书中。四元数的出现，推倒了传统代数的关卡，故有数学史上星程碑的美誉。后人为了纪念这一发明，特意在当年哈密顿刻划过的石头上镶嵌了一块水泥板，上面清楚地记载着1843年曾经发生的故事。
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+四元数在机器人中使用的非常多，甚至在量子力学中都有使用，关于四元数旋转的本质，小鱼也学习了很久才搞清楚，B站上3B1B的视频非常经典，大家自行食用。
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+> 在机器人学当中用到的四元数都是单位四元数（四维单位超球体在三维空间的投影）,下文中提到的四元数默认指单位四元数
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+接着我们来说说四元数常用的转换
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+四元数转旋转矩阵
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+![image-20211229184439675](7.2.3姿态的多种表示/imgs/image-20211229184439675.png)
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+旋转矩阵转四元数
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+![image-20211229184453523](7.2.3姿态的多种表示/imgs/image-20211229184453523.png)
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+四元数转欧拉角
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+![image-20211229184338075](7.2.3姿态的多种表示/imgs/image-20211229184338075.png)
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+四元数转轴角
+
+轴:$^AK=[k_x,k_y,k_z]^T$ 角:$\theta$
+$$
+x= k_x\sin(\theta/2)\\
+y= k_y\sin(\theta/2) \\
+z= k_z\sin(\theta/2)\\
+w = \cos(\theta/2)
+$$
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+>  小计算: $w^2+x^2+y^2+z^2=1$
 
-四元数是简单的超复数。 复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i²= -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j和k 组成，而且它们有如下的关系： i² = j² = k² = -1， iº = jº = kº = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi+ cj + dk，其中a、b、c 、d是实数。
-对于i、j和k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表Z轴与Y轴相交平面中Z轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表X轴与Z轴相交平面中X轴正向向Z轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与X轴相交平面中Y轴正向向X轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。