# 7.3.1 齐次坐标变换

前面几节中，小鱼带你一起学习了使用TF进行坐标的变换，也带你通过旋转和平移求解了坐标的变换关系，但计算的过程中旋转和平移是分开计算的，那有没有一种方法，可以让旋转矩阵和平移向量合并到同一个矩阵里呢？

答案是有的，我们可以将$3*3$的旋转矩阵和$3*1$的平移矩阵进行组合，并添加一行(0,0,0,1)使其变成一个$4*4$的方阵，其组合方式如下：

有旋转矩阵
$$
R = \begin{bmatrix}{r_{11}}&{r_{12}}&{r_{13}}\\{r_{21}}&{r_{22}}&{r_{23}}\\{r_{31}}&{r_{32}}&{r_{33}}\\\end{bmatrix} \tag{旋转矩阵}
$$
平移矩阵
$$
P= \begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\\end{bmatrix}  \tag{平移矩阵}
$$


合并成齐次变换矩阵
$$
T = \begin{bmatrix}{r_{11}}&{r_{12}}&{r_{13}}&{x}
\\{r_{21}}&{r_{22}}&{r_{23}}&{y}
\\{r_{31}}&{r_{32}}&{r_{33}}&{z}
\\0&0&0&1
\\\end{bmatrix} 
\tag{齐次矩阵}
$$


为什么要这样写，我们可以简单的推导一下，矩阵是支持分块运算的，我们将上面的矩阵进行分块
$$
T = \begin{bmatrix}{R}&{P}
\\0&1\\\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵}
$$
假设$^A_BT$表示B坐标系到A坐标系的齐次变换，B坐标系下的点C坐标为$^B_CP$，求C在A坐标系下的坐标$^A_CP$

我们将$^A_BT$乘$^B_CP$上，可得
$$
^A_CP= 
\begin{bmatrix}{^A_BR}&{^A_BP}\\0&1\\\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{^B_CP}\\1\\\end{bmatrix} 
= {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP
$$
根据前面学习的平移+旋转复合坐标变换公式，正确的结果如下
$$
^A_CP = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP
$$
你会发现，两者最终结果完全相同，也就是说，我们的平移加旋转复合变换，可以直接用齐次变换矩阵代替。



## 1.齐次变换矩阵特性

接着我们来探索一下齐次变换矩阵的一些特性

### 2.1.齐次变换矩阵的符号表示

一般使用H或者T来表示齐次变换矩阵，矩阵的左上角标明参考坐标系，矩阵左下角标明目标坐标系，比如$^A_BT$表示B坐标系到A坐标系的变换关系(平移+旋转)

### 2.2.齐次变换矩阵的逆的几何含义

就像矩阵的逆一样，齐次变换矩阵也有逆，其逆也有对应的几何含义，比如

比如$^A_BT$表示B坐标系到A坐标系的变换关系

那么

$^A_BT$的逆$^A_BT^{-1}=^B_AT$表示A坐标系到B坐标系的变换关系

### 2.3.齐次变换矩阵的乘法的几何含义

#### 3.3.1齐次矩阵与平移向量相乘

齐次矩阵与平移向量相乘，即可求出某个向量在另一坐标系下的表示，上面例子中即是如此。

#### 3.3.2齐次矩阵与齐次矩阵相乘

齐次矩阵与齐次矩阵相乘，可以转换不同坐标系之间的关系，比如：
$$
^A_BT^B_CT=^A_CT
$$
比如当我们有一个六自由度的机械臂，知道两两相邻关节之间的关系，那么就可以通过其次矩阵相乘的方法求出，关节6在关节0下的位置和姿态：
$$
^0_1T^1_2T^2_3T^3_4T^4_5T^5_6T=^0_6T
$$

## 3.练习

练习小鱼放到了下一节了，毕竟不希望大家用手来算~


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