7.1.1数学基础.md 3.4 KB
7.1 数学基础
大家好，我是小鱼。本节我们来学习一下线性代数的基础中的矩阵部分，矩阵作为我们学习机器人学中最常用的基础知识，后面学习过程中我们会经常遇到，比如：表示旋转的旋转矩阵、坐标变换中的齐次矩阵、关节速度映射雅可比矩阵、仿真中的惯性矩阵等等。所以很有必要在正式学习之前，了解一下矩阵的概念及常用的矩阵定义。
本节小鱼将从以下内容来介绍：
1.矩阵介绍
1.1 矩阵定义
由$m*n$个数$a{ij}(i=1,2,..,m;j=1,2...,n)$排成的m行n列的矩阵表格 $$ \begin{bmatrix} {a{11}}&{a{12}}&{\cdots}&{a{1n}}\ {a{21}}&{a{22}}&{\cdots}&{a{2n}}\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {a{m1}}&{a{m2}}&{\cdots}&{a{mn}}\ \end{bmatrix} $$ 称为一个$m*n$的矩阵,记为为$A$或$(a{ij}){m*n}(i=1,2,..,m;j=1,2...,n)$，当$m=n$时称$A$为$n$阶方阵.
矩阵就是一堆可能存在着某种联系数的组合，编号规则也很简单，第一行第一列的数编号为$a{11}$,第二行第一列叫做$a{21}$，以此类推
如果两个矩阵都是m*n个数组成，则称两个矩阵为同型矩阵。
1.2 零矩阵
所谓零矩阵，就是矩阵中每个数都是$0$,比如一个$3*3$的$0$矩阵（零矩阵常用$O$来表示） $$ O_{3*3} =\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\{0}&{0}&{0}\{0}&{0}&{0}\\end{bmatrix} $$
零矩阵是不是和自然数零一样神奇呢？
根据矩阵的运算法则，零矩阵有以下性质，下一节我们会来动手验证。
任何矩阵（前提符合运算法则）与零矩阵相加、减结果都是其本身 $$ A-O=A \ A+O=A $$
零矩阵与任何矩阵的相乘结果都是零矩阵（注意，矩阵型号可能会变）
1.3 单位矩阵
主对角线上的元素都为$1$，其余元素全为$0$的$n$阶矩阵称为$n$阶单位矩阵,常用符号$I$表示，如$I3$ $$ I_{3} =\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\{0}&{1}&{0}\{0}&{0}&{1}\\end{bmatrix} $$
单位矩阵的性质与自然数1相似
根据矩阵的运算法则，单位矩阵有以下性质：
任何矩阵与单位矩阵的乘积结果为其本身 $$ AI_n = A\ I_nB = B $$
2.矩阵的运算
2.1加减法运算
两个矩阵相加减，即其对应元素相加减。
设矩阵 $$ A=\begin{bmatrix} {a{11}}&{a{12}}&{\cdots}&{a{1n}}\ {a{21}}&{a{22}}&{\cdots}&{a{2n}}\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {a{m1}}&{a{m2}}&{\cdots}&{a{mn}}\ \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} {b{11}}&{b{12}}&{\cdots}&{b{1n}}\ {b{21}}&{b{22}}&{\cdots}&{b{2n}}\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {b{m1}}&{b{m2}}&{\cdots}&{b{mn}}\ \end{bmatrix} $$ 有 $$ A\pm\;B=\begin{bmatrix} {a{11}\pm\;b{11}}&{a{12}\pm\;b{12}}&{\cdots}&{a{1n}\pm\;b{1n}}\ {a{21}\pm\;b{21}}&{a{22}\pm\;b{22}}&{\cdots}&{a{2n}\pm\;b{2n}}\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {a{m1}\pm\;b{m1}}&{a{m2}\pm\;b{m2}}&{\cdots}&{a{mn}\pm\;b{mn}}\ \end{bmatrix} $$ 只有两个矩阵为同型矩阵时才能进行加减运算。
运算性质
交换律：$A+B=B+A$
结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$
栗子： $$ A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\{1}&{0}&{0}\{0}&{0}&{1}\\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\{1}&{0}&{0}\{0}&{0}&{1}\\end{bmatrix}\ A+B=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\{2}&{0}&{0}\{0}&{0}&{2}\\end{bmatrix} $$