7.1.1数学基础.md 6.5 KB
7.1 数学基础
大家好，我是小鱼。本节我们来学习一下线性代数的基础中的矩阵部分，矩阵作为我们学习机器人学中最常用的基础知识，后面学习过程中我们会经常遇到，比如：表示旋转的旋转矩阵、坐标变换中的齐次矩阵、关节速度映射雅可比矩阵、仿真中的惯性矩阵等等。所以很有必要在正式学习之前，了解一下矩阵的概念及常用的矩阵定义。
1.矩阵介绍
1.1 矩阵定义
由$m*n$个数$a{ij}(i=1,2,..,m;j=1,2...,n)$排成的m行n列的矩阵表格 $$ \begin{bmatrix} {a{11}}&{a{12}}&{\cdots}&{a{1n}}\ {a{21}}&{a{22}}&{\cdots}&{a{2n}}\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {a{m1}}&{a{m2}}&{\cdots}&{a{mn}}\ \end{bmatrix} $$ 称为一个$m*n$的矩阵,记为为$A$或$(a{ij}){m*n}(i=1,2,..,m;j=1,2...,n)$，当$m=n$时称$A$为$n$阶方阵.
矩阵就是一堆可能存在着某种联系数的组合，编号规则也很简单，第一行第一列的数编号为$a{11}$,第二行第一列叫做$a{21}$，以此类推
如果两个矩阵都是m*n个数组成，则称两个矩阵为同型矩阵。
1.2 零矩阵
所谓零矩阵，就是矩阵中每个数都是$0$,比如一个$3*3$的$0$矩阵（零矩阵常用$O$来表示） $$ O_{3*3} =\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\{0}&{0}&{0}\{0}&{0}&{0}\\end{bmatrix} $$
零矩阵是不是和自然数零一样神奇呢？
根据矩阵的运算法则，零矩阵有以下性质，下一节我们会来动手验证。
任何矩阵（前提符合运算法则）与零矩阵相加、减结果都是其本身 $$ A-O=A \ \ A+O=A $$
零矩阵与任何矩阵的相乘结果都是零矩阵（注意，矩阵型号可能会变）
1.3 单位矩阵
主对角线上的元素都为$1$，其余元素全为$0$的$n$阶矩阵称为$n$阶单位矩阵,常用符号$I$表示，如$I3$ $$ I_{3} =\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\{0}&{1}&{0}\{0}&{0}&{1}\\end{bmatrix} $$
单位矩阵的性质与自然数1相似
根据矩阵的运算法则，单位矩阵有以下性质：
任何矩阵与单位矩阵的乘积结果为其本身 $$ AI_n = A\\ I_nB = B $$
2.矩阵的运算
2.1加减法运算
两个矩阵相加减，即其对应元素相加减。
设矩阵 $$ A=\begin{bmatrix} {a{11}}&{a{12}}&{\cdots}&{a{1n}}\ {a{21}}&{a{22}}&{\cdots}&{a{2n}}\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {a{m1}}&{a{m2}}&{\cdots}&{a{mn}}\ \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} {b{11}}&{b{12}}&{\cdots}&{b{1n}}\ {b{21}}&{b{22}}&{\cdots}&{b{2n}}\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {b{m1}}&{b{m2}}&{\cdots}&{b{mn}}\ \end{bmatrix} $$ 有
$$ A\pm\;B=\begin{bmatrix} {a{11}\pm\;b{11}}&{a{12}\pm\;b{12}}&{\cdots}&{a{1n}\pm\;b{1n}}\ {a{21}\pm\;b{21}}&{a{22}\pm\;b{22}}&{\cdots}&{a{2n}\pm\;b{2n}}\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {a{m1}\pm\;b{m1}}&{a{m2}\pm\;b{m2}}&{\cdots}&{a{mn}\pm\;b{mn}}\ \end{bmatrix} $$
只有两个矩阵为同型矩阵时才能进行加减运算。
运算性质
交换律：$A+B=B+A$
结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$
乘法结合律：$(AB)C=A(BC)$
栗子：
$$ A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\{1}&{0}&{0}\{0}&{0}&{1}\\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\{1}&{0}&{0}\{0}&{0}&{1}\\end{bmatrix} $$ $$ A+B= B+A =\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\{2}&{0}&{0}\{0}&{0}&{2}\\end{bmatrix} $$
2.2乘法运算
乘法运算分为两种，一种是标量乘法，一种是矩阵乘法。
2.2.1 标量乘法
标量乘法即一个矩阵和一个数相乘。运算法则：将矩阵的每一个元素都乘上这个数即可
栗子：
$$ A = \begin{bmatrix}{1}&{2}\{3}&{4}\\end{bmatrix}\ $$ $$ 2\times A= 2\times \begin{bmatrix}{1}&{2}\{3}&{4}\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{2 \times 1}&{2 \times 2}\{2 \times 3}&{2 \times 4}\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}{2}&{4}\{6}&{8}\\end{bmatrix} $$
2.2.2 矩阵运算
运算法则
设矩阵$A\times B = C = (c{ij}){m*n}$，则$C$的第$i$行第$j$列的元素$c_{ij}$的值等于矩阵A的第$i$行元素和矩阵B的第$j$列元素两两乘积之和。
栗子：
设： $$ A = \begin{bmatrix}{1}&{2}\{3}&{4}\\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}{1}&{0}\{0}&{3}\\end{bmatrix} \ $$ 则 $$ A \times B = C = \begin{bmatrix}{c{11}}&{c{12}}\{c{21}}&{c{22}}\\end{bmatrix} $$ $$ c{11} =1*1+2*0 = 1 $$ $$ c{12} =1*0+2*3 = 6 $$
$$ c_{21} = 3*1+4*0 = 3 $$
$$ c_{22} = 3+0 + 4*3 = 12 $$
$$ C = \begin{bmatrix}{1}&{6}\{3}&{12}\\end{bmatrix} $$
乘积之和其实就是点乘运算，比如栗子： $$ a = [1,2,3],b = [0,1,2]\ a\cdot b =1*0+2*1+3*2 = 8 $$ 放一张摘抄的很形象的图片：
矩阵的乘法的意义是非常有意思的，这里放一个链接，欢迎大家阅读： 矩阵乘法的本质是什么？
运算性质
尝试计算下上面栗子中的$B\times A$的值，得到的结果依然是上面栗子中的$C$吗?
答案：并不是，一般情况下，矩阵的乘法并不满足交换律
矩阵的运算规律：
结合律 $$ (A\times B)\times C = A \times(B\times C) $$
分配律 $$ A\times(B+C) = A\times B + A\times C $$
2.3转置运算
转置运算定义非常简单，将矩阵的对应行列元素互换(右上角加${T}$表示） $$ C = \begin{bmatrix}{c{11}}&{c{12}}\{c{21}}&{c{22}}\\end{bmatrix} ,C^{T} = \begin{bmatrix}{c{11}}&{c{21}}\{c{12}}&{c{22}}\\end{bmatrix} \ $$ 栗子： $$ A = \begin{bmatrix}{1}&{2}\{3}&{4}\\end{bmatrix},A^T = \begin{bmatrix}{1}&{3}\{2}&{4}\\end{bmatrix} $$ 运算规律 $$ (A^T)^T = A $$
$$ (A+B)^T = A^T + B^T $$
$$ (AB)^T = B^TA^T $$
3.重要定义
3.1 矩阵的逆
3.1.1 定义
$A,B$是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，若$AB=BA=E$,则称$A$是可逆矩阵，并称B是A的逆，且逆矩阵是唯一的，记作$A^{-1}$
这个我们本节课就不举栗子了，下节课我们使用代码来直接求。
注意：不一定所有的矩阵都是可逆的
3.1.2 运算规律
$$ (A^{-1})^{-1} = A $$
$$ AB可逆，(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$
4.总结
本节主要介绍了下矩阵的定义的一些性质，还有很多需要补充的，由于时间原因先发一下文章，小鱼要去录课了
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