7.3.1 齐次坐标变换

前面几节中，小鱼带你一起学习了使用TF进行坐标的变换，也带你通过旋转和平移求解了坐标的变换关系，但计算的过程中旋转和平移是分开计算的，那有没有一种方法，可以让旋转矩阵和平移向量合并到同一个矩阵里呢？

答案是有的，我们可以将$3*3$的旋转矩阵和$3*1$的平移矩阵进行组合，并添加一行(0,0,0,1)使其变成一个$4*4$的方阵，其组合方式如下：

有旋转矩阵 $$ R = \begin{bmatrix}{r{11}}&{r{12}}&{r{13}}\{r{21}}&{r{22}}&{r{23}}\{r{31}}&{r{32}}&{r_{33}}\\end{bmatrix} \tag{旋转矩阵} $$ 平移矩阵 $$ P= \begin{bmatrix}{x}\{y}\{z}\\end{bmatrix} \tag{平移矩阵} $$

合并成齐次变换矩阵 $$ T = \begin{bmatrix}{r{11}}&{r{12}}&{r{13}}&{x} \{r{21}}&{r{22}}&{r{23}}&{y} \{r{31}}&{r{32}}&{r_{33}}&{z} \0&0&0&1 \\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵} $$

为什么要这样写，我们可以简单的推导一下，矩阵是支持分块运算的，我们将上面的矩阵进行分块 $$ T = \begin{bmatrix}{R}&{P} \0&1\\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵} $$ 假设$^A_BT$表示B坐标系到A坐标系的齐次变换，B坐标系下的点C坐标为$^B_CP$，求C在A坐标系下的坐标$^A_CP$

我们将$^A_BT$乘$^B_CP$上，可得 $$ ^A_CP= \begin{bmatrix}{^A_BR}&{^A_BP}\0&1\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{^B_CP}\1\\end{bmatrix} = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP $$ 根据前面学习的平移+旋转复合坐标变换公式，正确的结果如下 $$ ^A_CP = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP $$ 你会发现，两者最终结果完全相同，也就是说，我们的平移加旋转复合变换，可以直接用齐次变换矩阵代替。

1.齐次变换矩阵特性

接着我们来探索一下齐次变换矩阵的一些特性

2.1.齐次变换矩阵的符号表示

一般使用H或者T来表示齐次变换矩阵，矩阵的左上角标明参考坐标系，矩阵左下角标明目标坐标系，比如$^A_BT$表示B坐标系到A坐标系的变换关系(平移+旋转)

2.2.齐次变换矩阵的逆的几何含义

就像矩阵的逆一样，齐次变换矩阵也有逆，其逆也有对应的几何含义，比如

比如$^A_BT$表示B坐标系到A坐标系的变换关系

那么

$^A_BT$的逆$^A_BT^{-1}=^B_AT$表示A坐标系到B坐标系的变换关系

2.3.齐次变换矩阵的乘法的几何含义

3.3.1齐次矩阵与平移向量相乘

齐次矩阵与平移向量相乘，即可求出某个向量在另一坐标系下的表示，上面例子中即是如此。

3.3.2齐次矩阵与齐次矩阵相乘

齐次矩阵与齐次矩阵相乘，可以转换不同坐标系之间的关系，比如： $$ ^A_BT^B_CT=^A_CT $$ 比如当我们有一个六自由度的机械臂，知道两两相邻关节之间的关系，那么就可以通过其次矩阵相乘的方法求出，关节6在关节0下的位置和姿态： $$ ^0_1T^1_2T^2_3T^3_4T^4_5T^5_6T=^0_6T $$

3.练习

练习小鱼放到了下一节了，毕竟不希望大家用手来算~

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