[fix]修改7.2.3-7.3.1一些笔误

docs/chapt7/7.2.3姿态的多种表示.md

@@ -23,9 +23,9 @@
 
 ## 1.旋转矩阵
 
-关于旋转矩阵我们在前几节教程中已经介绍了，旋转矩阵采用的是`旋转后的坐标系`三个轴分别与`原坐标系`三个轴的夹角余弦值共九个数字组成3*3的矩阵。
+关于旋转矩阵我们在前几节教程中已经介绍了，旋转矩阵采用的是`旋转后的坐标系`三个轴分别与`原坐标系`三个轴的夹角余弦值共九个数字组成的3*3矩阵。
 
-旋转矩阵一般记作记作$R$ 
+旋转矩阵一般记作$R$ 
 
 > 若两个坐标系姿态相同，其旋转矩阵为单位矩阵。
 
@@ -34,14 +34,14 @@
 ![坐标系和坐标系P关系](https://img-blog.csdnimg.cn/4f205bc34fce4a7497c487394b4a3a3f.png?x-oss-process=image/watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBA6bG86aaZUk9T,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16)
 
 
-如图，描述`坐标系{P}`和`参考坐标系{A}`之间的姿态关系来表示${^A_P}R$点的姿态。
+如图，描述`坐标系{P}`和`参考坐标系{A}`之间的姿态关系的旋转矩阵用符号${^A_P}R$来表示。
 
 
 $$
 {^A_P}R=[{^A}x_{P} \ {^A}y_{P} \ {^A}z_{P}] = \begin{bmatrix}{r_{11}}&{r_{12}}&{r_{13}}\\{r_{21}}&{r_{22}}&{r_{23}}\\{r_{31}}&{r_{32}}&{r_{33}}\\\end{bmatrix} \tag{旋转矩阵}
 $$
 
-两个向量的点乘=两个向量的长度(1)与它们夹角余弦的积,所以$r11$可以表示为向量$P_{x}$与$A_{x}$的点积，旋转矩阵就可以写为下面的形式
+两个向量的点乘=两个向量的长度(1)与它们夹角余弦的积，所以$r11$可以表示为向量$P_{x}$与$A_{x}$的点积，旋转矩阵就可以写为下面的形式
 
 $$
 {^A_P}R = \begin{bmatrix} 
@@ -52,7 +52,7 @@ $$
 $$
 
 
-### 1.2 绕某一轴旋转$\theta$转旋转矩阵
+### 1.2 绕某一轴旋转$\theta$角的旋转矩阵
 
 `新的坐标系`绕`原坐标系`某一坐标轴旋转任意角度得到的旋转矩阵有如下等式。
 
@@ -88,9 +88,9 @@ $$
 ## 2.欧拉角-绕坐标轴的旋转
 
 ### 2.1 12种旋转顺序
-旋转矩阵是一个冗余的（九个值之间存在约束关系），可以只需要三个参数来表示旋转矩阵。聪明的鱼粉肯定会想到，假如知道坐标系绕分别绕X、Y、Z轴的旋转角度，不就同样可以表示旋转了吗？
+旋转矩阵是一个冗余的（九个值之间存在约束关系），可以只需要三个参数来表示的矩阵。聪明的鱼粉肯定会想到，假如知道坐标系绕分别绕X、Y、Z轴的旋转角度，不就同样可以表示旋转了吗？
 
-这个猜想是对的，结合1.2中的绕三个轴的旋转的三个$\theta$，按照特定的顺序将对应的旋转矩阵乘起来就可以确定一个旋转矩阵。
+这个猜想是对的，结合1.2中绕三个轴旋转的三个$\theta$，按照特定的顺序将对应的旋转矩阵乘起来就可以确定一个旋转矩阵。
 
 但需要注意的是，矩阵的乘法不具备交换性，所以旋转顺序不同会造成不同的结果。
 
@@ -156,19 +156,19 @@ $$
 - 接着坐标系{B}绕着A的y轴`Ay`旋转$\beta$
 - 接着绕`Az`旋转$\gamma$
 
-上述三次旋转中，旋转时都是绕着A坐标系的xyz轴为参考坐标系，该旋转方式成为固定旋转轴的旋转，称之为固定角欧拉角或固定轴旋转。
+上述三次旋转，都是以A坐标系的xyz轴为参考坐标系进行旋转，该旋转方式为固定旋转轴的旋转，通常称之为固定角欧拉角或固定轴旋转。
 
 #### 2.2.2 参考自身坐标系
 ![参考自身坐标系](https://img-blog.csdnimg.cn/fa42e7371bf84f848eaf55c4406699b5.gif)
 
 我们也可以不沿着坐标系A的各轴旋转，而是绕旋转之后B的某一轴再次旋转，我们称之为非固定旋转轴的欧拉角。
 
-> 小鱼说:无论是参考自身坐标系还是参考固定的坐标系，都有12种旋转方式，所以欧拉角有12*2=24种旋转方式，后面的计算中我们也直观的感受到24种旋转方式的不同。
+> 小鱼说：无论是参考自身坐标系还是参考固定的坐标系，都有12种旋转方式，所以欧拉角有12*2=24种旋转方式，后面的计算中我们也将直观的感受到24种旋转方式的不同。
 
 ### 2.3 固定转轴欧拉角 转 旋转矩阵
 首先我们来考虑绕固定的坐标系旋转如何转换成旋转矩阵
 
-我们以顺序XYZ来举例说明，其他旋转顺序类似
+我们以XYZ的旋转顺序来举例说明，其他旋转顺序类似
 
 现在假设A、B两个坐标系重合，B坐标系绕A坐标系的X轴旋转45度，绕A的Z轴旋转90度.
 
@@ -187,7 +187,7 @@ $$
 
 这里引用林沛群老师的解释：
 
-我们可以假设一个向量v固定在B坐标系上，那我们让B坐标系绕着A坐标系的三个轴做旋转，就可以认为是让向量v绕着坐标系A的三个轴做旋转，那先转的肯定先乘，所以我们先让向量v乘上Rx(45),再让其乘上Rz(90)，即：
+我们可以假设一个向量v固定在B坐标系上，那我们让B坐标系绕着A坐标系的三个轴做旋转，就可以认为是让向量v绕着坐标系A的三个轴做旋转，那先转的肯定先乘，所以我们先让向量v乘上Rx(45)，再让其乘上Rz(90)，即：
 $$
 v' = R_{Z(90)}(R_{X(45)}v)
 $$
@@ -203,7 +203,7 @@ $$
 最终结果：
 ![固定轴欧拉角转旋转矩阵](https://img-blog.csdnimg.cn/b36d9d33b5ae47bfb3759556f10fd70f.png)
 
-根据旋转顺序不同，固定角有12种旋转方式，这里我们给出了绕固定轴以XYZ顺序旋转欧拉角转旋转矩阵的等式，其他旋转顺序对应的旋转矩阵可以尝试自行推导.
+根据旋转顺序不同，固定角有12种旋转方式，这里我们给出了绕固定轴以XYZ顺序旋转欧拉角的转旋转矩阵的等式，其他旋转顺序对应的旋转矩阵可以尝试自行推导。
 
 ### 2.2 非固定旋转轴的欧拉角
 
@@ -241,11 +241,11 @@ $$
 说到这里相信你已经理解了轴角的意义，接着我们给出轴角和旋转矩阵之间的转换关系
 
 ### 轴角转旋转矩阵
-假设坐标系B和参考坐标系A宠儿，将B绕着A坐标系下的矢量$^AK$按右手定则旋转$\theta$角度，旋转之后B坐标系在A坐标系下的姿态可以用
+假设坐标系B和参考坐标系A重合，将B绕着A坐标系下的矢量$^AK$按右手定则旋转$\theta$角度，旋转之后B坐标系在A坐标系下的姿态可以用
 $$
 ^A_BR(K,\theta)
 $$
-表示，注意矢量K为单位矢量(模场为1)，K为一个3*1的矢量
+表示，注意矢量K为单位矢量(模长为1)，K为一个3*1的矢量
 $$
 ^AK=[k_x,k_y,k_z]^T
 $$
@@ -272,7 +272,7 @@ $\theta$的符号由右手定则确定，右手大拇指指向矢量K的方向.
 
 ## 4.四元数
 
-除了轴角可以使用一个表示角度和三个表示旋转轴，一共四个数字表示旋转外。还有另外一种方式可以表示旋转——四元数。
+除了轴角可以使用一个数字表示角度，三个数字表示旋转轴，一共四个数字表示旋转外。还有另外一种四个数字表示表示旋转的方式——四元数。
 
 四元数的四个数字由一个实部和三个虚部组成，是一个超复数形式
 
@@ -283,7 +283,7 @@ $$
 
 关于四元数的由来有个小故事，小鱼分享一下：
 
-> 1843年10月16日的傍晚，英国数学家哈密顿和他的妻子一起步行去都柏林，途中经过布鲁哈姆桥时，他的脚步突然放慢了。妻子以为他要尽情欣赏周围的景色，于是也放慢了脚步。其实哈密顿此时正在思考他久久不能解决的问题。早在1828年，他就想发明一种新的代数，用来描述绕空间一定轴转动并同时进行伸缩的向量的运动。他设想这种新代数应包含四个分量：两个来固定转动轴，一个来规定转动角度，第四个来规定向量的伸缩。但是在构造新代数的过程中，由于他受传统观念的影响，不肯放弃乘法交换律，故屡受挫折。哈密顿盲目地相信，普通代数最重要的规律必定继续存在于他寻找的代数中。然而此刻，他的脑际突然产生了一个闪念：在所寻找的代数中，能否让交换律不成立呢？比方说，A×B不等于B×A而是等于负的B×A。这个想法太大胆了，他感到非常激动。哈密顿马上掏出笔记本，把他的思想火花记录下来。这一火花就是I，J，K之间的基本方程，即四元数乘法基本公式。哈密顿因此把1843年10月16日称为四元数的生日。此后，哈密顿一生的最后22年几乎完全致力于四元数的研究，成果发表在他去世后出版的《四元数基础》一书中。四元数的出现，推倒了传统代数的关卡，故有数学史上星程碑的美誉。后人为了纪念这一发明，特意在当年哈密顿刻划过的石头上镶嵌了一块水泥板，上面清楚地记载着1843年曾经发生的故事。
+> 1843年10月16日的傍晚，英国数学家哈密顿和他的妻子一起步行去都柏林，途中经过布鲁哈姆桥时，他的脚步突然放慢了。妻子以为他要尽情欣赏周围的景色，于是也放慢了脚步。其实哈密顿此时正在思考他久久不能解决的问题。早在1828年，他就想发明一种新的代数，用来描述绕空间一定轴转动并同时进行伸缩的向量的运动。他设想这种新代数应包含四个分量：两个来固定转动轴，一个来规定转动角度，第四个来规定向量的伸缩。但是在构造新代数的过程中，由于他受传统观念的影响，不肯放弃乘法交换律，故屡受挫折。哈密顿盲目地相信，普通代数最重要的规律必定继续存在于他寻找的代数中。然而此刻，他的脑际突然产生了一个闪念：在所寻找的代数中，能否让交换律不成立呢？比方说，A×B不等于B×A而是等于负的B×A。这个想法太大胆了，他感到非常激动。哈密顿马上掏出笔记本，把他的思想火花记录下来。这一火花就是I，J，K之间的基本方程，即四元数乘法基本公式。哈密顿因此把1843年10月16日称为四元数的生日。此后，哈密顿一生的最后22年几乎完全致力于四元数的研究，成果发表在他去世后出版的《四元数基础》一书中。四元数的出现，推倒了传统代数的关卡，故有数学史上里程碑的美誉。后人为了纪念这一发明，特意在当年哈密顿刻划过的石头上镶嵌了一块水泥板，上面清楚地记载着1843年曾经发生的故事。
 
 
 
@@ -311,7 +311,7 @@ $$
 
 ![image-20211229184338075](7.2.3姿态的多种表示/imgs/image-20211229184338075.png)
 
-四元数转轴角
+轴角转四元数
 
 轴:$^AK=[k_x,k_y,k_z]^T$ 角:$\theta$
 $$

docs/chapt7/7.3.1齐次坐标变换.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 
 # 7.3.1 齐次坐标变换
 
-前面几节中，小鱼带你一起学习了使用TF进行坐标的变换，也带你通过旋转和平移求解了下坐标的变换关系，但计算的过程中旋转和平移是分开计算的，那有没有一种方法，可以让旋转矩阵和平移向量合并到同一个矩阵里呢？
+前面几节中，小鱼带你一起学习了使用TF进行坐标的变换，也带你通过旋转和平移求解了坐标的变换关系，但计算的过程中旋转和平移是分开计算的，那有没有一种方法，可以让旋转矩阵和平移向量合并到同一个矩阵里呢？
 
 答案是有的，我们可以将$3*3$的旋转矩阵和$3*1$的平移矩阵进行组合，并添加一行(0,0,0,1)使其变成一个$4*4$的方阵，其组合方式如下：
 
@@ -31,7 +31,7 @@ $$
 T = \begin{bmatrix}{R}&{P}
 \\0&1\\\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵}
 $$
-假设$^A_BT$表示A坐标系到B坐标的齐次变换，B坐标系下的点C坐标为$^B_CP$,求C在A坐标系下的坐标$^A_CP$
+假设$^A_BT$表示B坐标系到A坐标系的齐次变换，B坐标系下的点C坐标为$^B_CP$，求C在A坐标系下的坐标$^A_CP$
 
 我们将$^A_BT$乘$^B_CP$上，可得
 $$
@@ -40,7 +40,7 @@ $$
 \begin{bmatrix}{^B_CP}\\1\\\end{bmatrix} 
 = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP
 $$
-根据前面学习的平移+旋转复合坐标变换公式,正确的结果如下
+根据前面学习的平移+旋转复合坐标变换公式，正确的结果如下
 $$
 ^A_CP = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP
 $$
@@ -54,17 +54,17 @@ $$
 
 ### 2.1.齐次变换矩阵的符号表示
 
-一般使用H或者T来表示齐次变换矩阵，矩阵的左上角标明参考坐标系，矩阵左下角标定目标坐标系，比如$^A_BT$表示A坐标系到B坐标系的变换关系(平移+旋转)
+一般使用H或者T来表示齐次变换矩阵，矩阵的左上角标明参考坐标系，矩阵左下角标明目标坐标系，比如$^A_BT$表示B坐标系到A坐标系的变换关系(平移+旋转)
 
 ### 2.2.齐次变换矩阵的逆的几何含义
 
-就像矩阵的逆一样，齐次变换矩阵也有逆，其的逆也有对应的几何含义，比如
+就像矩阵的逆一样，齐次变换矩阵也有逆，其逆也有对应的几何含义，比如
 
-比如$^A_BT$表示A坐标系到B坐标系的变换关系
+比如$^A_BT$表示B坐标系到A坐标系的变换关系
 
 那么
 
-$^A_BT$的逆$^A_BT^{-1}=^B_AT$表示B坐标系到A坐标系的变换关系
+$^A_BT$的逆$^A_BT^{-1}=^B_AT$表示A坐标系到B坐标系的变换关系
 
 ### 2.3.齐次变换矩阵的乘法的几何含义
 
@@ -78,7 +78,7 @@ $^A_BT$的逆$^A_BT^{-1}=^B_AT$表示B坐标系到A坐标系的变换关系
 $$
 ^A_BT^B_CT=^A_CT
 $$
-比如当我们有一个六自由度的机械臂，知道每两个相邻关节之间的关系，那么就可以通过其次矩阵相乘的方法求出，关节6在关节0下的位置和姿态：
+比如当我们有一个六自由度的机械臂，知道两两相邻关节之间的关系，那么就可以通过其次矩阵相乘的方法求出，关节6在关节0下的位置和姿态：
 $$
 ^0_1T^1_2T^2_3T^3_4T^4_5T^5_6T=^0_6T
 $$